之前写了一篇斐波那契数列（一）--对比递归与动态规划（JAVA）来优化斐波那契数列，这样可以使算法的时间复杂度从O(n^2)变到O(n),这是使用递归公式f(n)=f(n-1)+f(n-2)求斐波那契数列的最优算法，但是这只是一维世界下的极限。下面我们将其从一维上升到二维，用二阶矩阵推导斐波那契数列，该算法的复杂度为O(logn)。

矩阵定义

一个m*n的矩阵是一个由m行n列元素排成的矩形阵列。矩阵里的元素可以是数字符号或者数学式.

下面是一个典型的二阶矩阵

示意图

二阶矩阵的乘法

示意图

高效幂运算

示意图

第一种方法在高效幂运算（JAVA）中有类似的描述，虽然本文中是对矩阵进行幂运算，实质是一样的 第二种方法利用位运算转换成二进制处理

斐波那契数列的矩阵算法

示意图 

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import java.util.Scanner;

/**
 *  [F(n+1) F(n)]    [1  1 ]^n
    |           |   =|     |
    [F(n) F(n-1)]    [1  0 ]
 * */
public class Main {
    // 公式矩阵  
    private static final int[][] UNIT = {{1, 1}, {1, 0}};
    // 零矩阵  
    private static final int[][] ZERO = {{0, 0}, {0, 0}};

    public static void main(String[] args) {
        Scanner in = new Scanner(System.in);
        int n = in.nextInt();
        int[][] m = fb(n);
        System.out.println(m[0][1]);
    }
    
    /**
     * 利用二进制进行高效幂运算
     * 求斐波那契数列
     * */
    public static int[][] fb(int n) {
        if (n == 0) {
            return ZERO;
        }
        if (n == 1) {
            return UNIT;
        }
        if (n%2 == 0) {
            System.out.println(n >> 1);
            int[][] matrix = fb(n >> 1);

            return Multiply(matrix, matrix);
        } else {
            int[][] matrix = fb((n - 1) >> 1);
            return Multiply(Multiply(matrix, matrix), UNIT);
        }

    }
    
    /**
     * 矩阵乘法
     * */
    public static int[][] Multiply(int[][] m, int[][] n) {

        /**
         * 对于斐波那契数列来说，行和列都是2，这样写更易于理解，下面也给出了标准的矩阵乘法算法，是通用的
         * 用到此算法，除非进行算法学习和研究，否则一般都是进行较大数据的斐波那契求值，所以对结果取(10e9)+7的模
         * */
        int[][] r = new int[2][2];
        r[0][0] = (m[0][0]*n[0][0] + m[0][1]*n[1][0])%1000000007;
        r[0][1] = (m[0][0]*n[0][1] + m[0][1]*n[1][1])%1000000007;
        r[1][0] = (m[1][0]*n[0][0] + m[1][1]*n[1][0])%1000000007;
        r[1][1] = (m[1][0]*n[0][1] + m[1][1]*n[1][1])%1000000007;
        return r;
    }
}

标准矩阵乘法算法： 

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public static int[][] Multiply(int[][] m, int[][] n) {
//        标准计算矩阵乘法算法
        int rows = m.length;
        int cols = n[0].length;
        int[][] r = new int[rows][cols];
        for (int i = 0; i < rows; i++) {
            for (int j = 0; j < cols; j++) {
                r[i][j] = 0;
                for (int k = 0; k < m[i].length; k++) {
                    r[i][j] += m[i][k] * n[k][j];
                }
            }
        }
        return r;
    }
}